(0, 2) বিন্দু y=5x₂+3x+c বক্ররেখার উপর অবস্থিত্ ঐ বিন্দুতে বক্ররেখার উপর অঙ্কিত স্পর্ষক ax+cy+1 রেখার সমান্তরাল হলে a এর মান কত?

বক্ররেখার সমীকরণ হলো \(y = 5x^2 + 3x + c\)।

১. 'c' এর মান নির্ণয়:

বক্ররেখাটি \((0, 2)\) বিন্দুগামী। অতএব, এই বিন্দু দ্বারা বক্ররেখার সমীকরণ সিদ্ধ হবে।

\(2 = 5(0)^2 + 3(0) + c\)

\(2 = 0 + 0 + c\)

\(c = 2\)

সুতরাং, বক্ররেখার সমীকরণটি হলো \(y = 5x^2 + 3x + 2\)।

২. বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল নির্ণয়:

বক্ররেখার স্পর্শকের ঢাল \(\frac{dy}{dx}\) দ্বারা নির্ণয় করা যায়।

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 3x + 2)\)

\(\frac{dy}{dx} = 10x + 3\)

স্পর্শকটি \((0, 2)\) বিন্দুতে অঙ্কিত। অতএব, \(x = 0\) বসিয়ে ঢাল নির্ণয় করি।

\(m_{স্পর্শক} = 10(0) + 3\)

\(m_{স্পর্শক} = 3\)

৩. প্রদত্ত সরলরেখার ঢাল নির্ণয়:

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ হলো \(ax + cy + 1 = 0\)।

আমরা \(c = 2\) পেয়েছি। অতএব, সরলরেখার সমীকরণটি হলো \(ax + 2y + 1 = 0\)।

\(2y = -ax - 1\)

\(y = -\frac{a}{2}x - \frac{1}{2}\)

এই সরলরেখার ঢাল \(m_{রেখা} = -\frac{a}{2}\)।

৪. সমান্তরাল হওয়ার শর্ত প্রয়োগ:

প্রশ্নমতে, বক্ররেখার স্পর্শক এবং \(ax + cy + 1 = 0\) রেখাটি পরস্পর সমান্তরাল।

সমান্তরাল রেখার ঢাল সমান হয়, অর্থাৎ:

\(m_{স্পর্শক} = m_{রেখা}\)

\(3 = -\frac{a}{2}\)

\(a = 3 \times (-2)\)

\(a = -6\)